我們在討論城市發展時，總是離不開人口、住房、GDP、科技、城市公共服務等詞匯。那么，從學理上如何測算這些要素的合理性呢？這篇專欄想從城市標度律出發，講講其中的變與不變。

一、從標度不變性說起

標度的英文單詞是Scale，即規模或者縮放的意思，標度不變性（Scale-invariance），即經過縮放之后仍然保持不變，那有什么東西經過縮放之后仍然保持不變呢？比如，我們可以打開手機上的地圖APP，隨著我們縮放地圖上的某個區域，唯一變化的只有地圖邊上的比例尺，地圖的內容并沒有變化，區域的面積、周長、兩個地點之間的距離、建筑物高度這些指標都不會發生變化。地圖的尺度隨著比例尺的變化而變化，但是有些特征指標并不隨著比例尺的縮放而改變，復雜系統中把這種具有縮放不變性的特征稱為標度不變性。

當然，縮放只是一種變換方式，類似的變換還有對稱、旋轉等，但凡經歷變換之后保持不變的特征我們都稱為標度不變性。生活中的標度不變性例子其實很多，最簡單的就是圓周率π，很早之前，人們就發現無論一個圓怎么縮放、對稱、旋轉，圓的周長始終是直徑的3.14倍左右。因此，圓周率就是一個典型的標度不變性的例子。

有了標度不變性這個概念，城市學者們就在思考，既然城市就是一個復雜系統，那么城市中的哪些標度不會隨著城市規模大小變化而變化呢。尋找這樣的變量不僅對于理解城市的特征和規律非常重要，而且能讓城市規劃和決策找到重要依據。試想一下，如果我們已經知道城市或區域人口與該區域道路的總長度之間的比值是一個標度不變量。那么，只需要統計一個城市的人口，就會知道一個城市應該設計多長的道路；統計一個區、一個街道的人口，就會知道區和街道應該設計多長的道路，如此一來，城市決策不僅科學而且簡單。但是要知道，城市作為一個復雜系統，不僅具有自然系統的復雜性（如氣候、地理等變量），還兼具人文系統的不確定性（如GDP，人口等）。因此，尋找城市中具有變換不變性的標度并非一個簡單的過程，城市科學研究者把具有這樣的城市標度規律統稱為城市標度律。

二、城市中哪些變量具有標度律？

首先，城市中任何跟規模相關的變量，比如人口、面積、GDP、用電量這些變量都不可能具有標度不變性。因為城市變化了，這些規模變量也就隨之變化了。因此，最有可能具有的標度律應該是一些比例關系。在第一期的“解釋城市”欄目中，筆者介紹過城市齊普夫法則，他其實就是一種標度不變性的例子，他描述的是不同城市的人口位次與人口規模的對數比例是一個近似為1的比例。在此之后，人們陸續探索城市中的各種變量與人口規模的關系，發現，除了人口位次，一個國家中城市的GDP、專利數、住房量、加油站數量等眾多變量，經過一定的調整，與人口規模之間的比例都是一個固定常數，但是這個常數卻各不相同。比如，歐洲各城市的GDP經過簡單的調整（取對數再減一個常數），與城市人口規模的對數之間的比例似乎總是1.25，中國一定年份城市的GDP調整后，與城市人口對數的比例總是1.15；美國城市的新申請專利數量調整后，總是城市人口對數的1.27倍，等等。

講到這里，如果僅僅是尋找標度，似乎變得簡單而又枯燥。城市是個多源數據發生地，只需要把城市中的各大變量都檢驗一遍，算一下相互可能存在的比例關系，就可以判定是否是標度不變了。但在2007年，事情迎來了轉機，起因是洛斯·阿拉莫斯國家試驗室理論研究部的路易斯·貝當古（Luis Bettencourt，現在是芝加哥大學Mansueto城市創新研究所的主任）與被譽為標度學之父，同時也是暢銷書《規模》作者的杰弗里？韋斯特(Geoffrey West)合作，在《美國科學院院報》（Proceedings of the National Academy of Sciences）發表了一篇文章《城市中的增長、創新、規模與生活節奏》（Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities），在這篇文章中，他們做了一個總結性工作。他們把已經發現的具有標度不變特征的這些比例系數從大到小排列了一下（如表1），發現了一個相當有意思的結論：只要是那些與社會經濟相關的變量（如專利、GDP等），標度系數總是會大于1；只要是與人類基本需求相關的變量（如住房、用電、用水），標度系數幾乎就是1；只要是與城市基礎設施相關的變量（如道路、加油站、光纜長度），標度系數顯著小于1。這個標度系數其實暗含了與城市人口規模變化的關系，人口規模變化，乘上這個變量特有的系數，就會得到還原到變量上，不同系數代表了城市生長速度不一樣，因此，被稱為城市的異速生長規則（Allometry law）。

現在我們知道，異速生長規則就是城市標度律的一種，主要是城市中一些變量調整后與城市人口規模（取對數）的比例關系（這里的比例系數、標度系數、異速生長系數就是一回事）。

表1 一些變量及其標度系數

數據來源：《城市中的增長、創新、規模與生活節奏》

三、為什么會有城市異速生長規則

再次回顧上面的異速生長系數，其實我們不難發現一個特征，這個系數其實代表了城市中哪些變量與人口之間有著“1+1是否等于2”的關系。比如，社會經濟變量，存在典型的“眾人拾柴火焰高”的現象（英文中稱之為bigger city，more wealth），系數大于1，說明兩個人合作創造的經濟社會價值比每個人分別創造的要多（即1+1＞2）；與人類基本需求相關的變量，即民生變量，城市會朝著“居者有其屋”方向演變，系數約為1，說明兩個人的總基本需求就是每個人的基本需求相加，即1+1＝2時最優；最后，基礎設施變量，存在明顯的共用性、非排他性，如同“報團取暖”（英文中稱之為bigger cities do more with less），系數小于1，說明城市中一條道路可以滿足1個人用，也能滿足2個人用，1+1＜2時即可。

路易斯·貝當古等人對城市標度律的研究，打開了城市科學的大門，也逐步揭開了城市中變與不變的神秘面紗，城市背后繁華與頹敗的真相也在慢慢被揭示。

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“解釋城市”專欄由上海發展戰略研究所戴躍華博士主持，關注城市科學發展的前沿趨勢，解釋城市科學以及城市中人類行為動力學的一般特征和規律，探究利用前沿城市科學理論優化城市治理的路徑和方法。

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